Trung học cơ sở Thanh Thuỳ

https://thcsthanhthuy.thanhoaiedu.vn

Đề thi olympic 8 (2015 - 2016)

DẠY HỌC MỚI
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS THANH THÙY		 ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8
Năm học: 2015 - 2016
  Thời gian: 120 phút
Câu 1 ( 6 điểm )
  1. Giải các phương trình:
a,  (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
b, 
2. Giải bất phương trình:    
Câu 2 ( 5 điểm )
     1. Tìm dư của phép chia đa thức x27 + x9 + x3 + x cho đa thức x2 - 1
2. Cho đa thức P(x) = x2 + bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức  x+ 6x+ 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho x, y thỏa mãn :  x2 + y2 = 1.
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x6 + y6

 Câu 4: (7 điểm)  Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH
(H BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E .
  1. Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC .Tính độ dài đoạn BE theo
            m = AB
  1. Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng tam giác BHM đồng dạng với tam giác BEC . Tính số đo của góc AHM.
  2. Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh :
                   -----------  Hết  -------------                  





 
phßng GD& §t Thanh oai
TRƯỜNG THCS THANH THÙY		 ­h­íng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2015 – 2016
M«n thi: To¸n Líp 8
 
 
Câu Nội dung Điểm

Câu 1
(6điểm)		  
  1. a,  (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
x = -1, x = 12
    b)  (1)
ĐKXĐ: x ≠ - 4; - 5; - 6; - 7
(1)
 

x = 2 hoặc x = - 13

2. Xét hiệu :  (I) ( đk: x ≠ 1)
     (I)    
….  

2,0đ.


0,5đ.
.
0,5đ.

1,0đ




1,0đ.

1,0đ.

Câu 2
(6điểm)
 		 1. x27 + x9 + x3 + x = x27 – x + x9 – x + x3  - x + 4x
                          = x(x26 - 1) + x(x8 - 1) + x(x2 - 1) + 4x
 x27 + x9 + x3 + x chia cho x2 – 1 dư 4x.

2. x+ 6x+ 25 =(x2 + 2x + 5)(x2 - 2x + 5) 
   3x4 + 4x2 + 28x + 5 = (3x2 + 6x + 1)(x2 - 2x + 5)
Vì các đa thức  x+ 6x+ 25 và 3x4 + 4x2 + 28x + 5 đều chia hết cho P(x) = x2 + bx + c nên P(x) là nhân tử chung bậc hai của hai đa thức trên, nên P(x) = x2 - 2x + 5
              P(1) = 4 		1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.

0,75 đ.
0,75 đ.




0,5đ
Câu 3 2điểm Ta có A = x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3 = (x2 + y2)(x4 + y4 – x2y2 )
             = x4 + y4 – x2y2 , (Vì x2 + y2 = 1)
            =  (x2 + y2)2 – 3x2y2  = 1 - 3x2y2		 0,75 đ
  Vì x2y2 ≥ 0 với mọi x, y nên 3x2y2 ≥ 0 1 - 3x2y2 ≤ 1 với mọi  x, y
Hay  A ≤ 1		 0,25đ
   max A = 1 x2y2 = 0       (1)
Mà x2 + y2 = 1 nên  (1)    		 0,25đ


0,5đ
 
 
 
Vậy  max A = 1  x = 0 ; y =    hoặc   x =  ; y = 0		 0,25đ
 
Câu 4   7,0điểm  

a)


Vẽ hình









Chứng minh CDE CAB (g.g)
Suy ra
 Hai tam giác ADC và BEC có:
  Góc C chung.
  (Chứng minh trên)
 Do đó  ADC  BEC (c.g.c).
Suy ra : góc BEC = góc ADC = 1350 ( vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên góc AEB = 450 .Do đó tam giác ABE vuông cân tại A .
Suy ra : 		2,5điểm

0,25điểm










0,5điểm
0,25điểm
 
0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm		  
           

b)







 

Ta có:  (do )
Mà:  ( tam giác AHD vuông cân tại H)
Nên   
 Mà  (g . g ) 
Nên :( )
Do đó:  (c.g.c), suy ra: 		2,5điểm

0,25điểm

0,5điểm

0,5điểm

0,5điểm

0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm

c)

Tam giác ABE vuông cân tại A ,
nên tia AM còn là phân giác của góc BAC.
Suy ra AG là phân giác của góc BAC   Suy ra:


Do đó:
 		  2,0điểm

0,5điểm

0,5điểm


0,5điểm


0,5điểm


                                           Điểm toàn bài 20 điểm



                             ----------------------- Hết-----------------------












                                                                                    
 

Nguồn tin: Giáo viên: Lê Thi Mỹ Hạnh

Bạn đã không sử dụng Site, Bấm vào đây để duy trì trạng thái đăng nhập. Thời gian chờ: 60 giây