A) TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Bước 1: Lập phương trình hoặc hệ phương trình:
          a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
          b) Biểu diễn các đại lượng chưa biết thông qua ẩn và các địa lượng đã biết.
          c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2:  Giải phương trình.
Bước 3:  Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
          Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phương trình bậc nhất một ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai.
          Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thực tế....

B) CÁC DẠNG TOÁN

1. Dạng 1: Toán về quan hệ các số.

          Nững kiến thức cần nhớ:
+ Biểu diễn số có hai chữ số :
+ Biểu diễn số có ba chữ số :
+ Tổng hai số x; y là: x + y
+ Tổng bình phương hai số x, y là: x² + y²
+ Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)².
+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là: .
Ví dụ 1: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu của nó thêm 1 đơn vị thì được một phân số mới bằng  phân số đã cho. Tìm phân số đó?
Giải:
          Gọi tử số của phân số đó là x (đk: )
          Mẫu số của phân số đó là x + 3.
Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 1 đơn vị thì
          Tử số là x + 1
          Mẫu số là x + 3 + 1 = x + 4
Được phân số mới bằng  ta có phương trình   .

          Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
Giải:
          Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x  9).

• Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N,  x  9)
• Số cần tìm có dạng = 10x + y
• Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có pt: x – y = 2       (1)
• Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: =100x +10y + x = 101x +10y

 

• Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta có phương trình:

 (101x + 10y) – (10x + y) = 682  91x + 9y = 682   (2).

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
• Giải hệ pt ta được   (thỏa ĐK) số cần tìm là 75.

Ví dụ 3: Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó?
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x (

Vì tổng 2 chữ số là 9 ta có x + y = 9 (1)
Số đó là
Số viết ngược lại là
Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì được số viết theo thứ tự ngược lại ta có

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Vậy số phải tìm là 18.

Ví dụ 4: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng các bình phương của nó là 85.
Giải
Gọi số bé là x (). Số tự nhiên kề sau là x + 1.
Vì tổng các bình phương của nó là 85 nên ta có phương trình: x² + (x + 1)² = 85

Phương trình có hai nghiệm
         
Vậy hai số phải tìm là 6 và 7.
          Ví dụ 5: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba lần số kia là          7. Tìm hai số đó.
Giải:

• Gọi x, y là hai số cần tìm (x, y N)

• Theo đề bài ta có hệ pt:   
• Giải hệ ta được:  (thỏa ĐK)  hai số cần tìm là 34 và 25.

          Ví dụ 6: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
          Giải:

• Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x  9)
• Chữ số hàng đơn vị: 10 – x
• Số đã cho có dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10
• Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)
• Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12 x² – 2 = 0
• Giải pt trên ta được: x₁ = –1( loại); x₂ = 2 (nhận)
• Vậy số cần tìm là 28.

          Ví dụ 7: Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu thêm vào số đó 18 đơn vị thì số thu          được cũng viết bằng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.
          Giải:

• Gọi x là chữ số hàng chục, y là chữ số hàng đơn vị của số đã cho (x,y N, 0 < x,y  9)
• Theo đề bài ta có:

          

            Vậy số cần tìm là 24.

Bài tập:
Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì được 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?
Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng  số thứ nhất thì bằng  số thứ hai.
Bài 3: Tìm một số tự  nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chụccho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị.
Bài 4: Tìm hai số hơn kém nhau 5 đơn vị và tích của chúng bằng 150.
Bài 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của số tạo bởi chữ số hàng vạn và chữ số hàng nghìn của số đã cho theo thứ tự đó.
ĐÁP SỐ:
Bài 1: Số đó là 19;
Bài 2: Hai số đó là 15 và 36
Bài 3: Số đó là 61
Bài 4: Hai số đó là 10 và 15 hoặc -10 và -15;
Bài 5: Số đó là 32.

2. Dạng 2: Toán chuyển động

Những kiến thức cần nhớ:
          Nếu gọi quảng đường là S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:
S = v.t; .
Gọi vận tốc thực của ca nô là v₁ vận tốc dòng nước là v₂ tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng nước là
v = v₁ + v₂. Vân tốc ca nô khi ngược dòng là v = v₁ - v₂
Ví dụ 1: Xe máy thứ nhất đi trên quảng đường từ Hà Nội về Thái Bình hết 3 giờ 20 phút. Xe máy thứ hai đi hết 3 giờ 40 phút. Mỗi giờ  xe máy thứ nhất đi nhanh hơn xe máy thứ hai 3 km.
Tính vận tốc của mỗi xe máy và quảng đường từ Hà Nội đến Thái Bình?

Giải:
Gọi vận tốc x thứ nhất là x (km/h), đk: x>3;
Vận tốc của xe tứ hai là x - 3 (km/h).
Trong 3 giờ 20 phút (=giờ) xe máy thứ nhất đi được
Trong 3 giờ 40 phút (=giờ) xe máy thứ nhất đi được
Đó là quảng đường tứ Hà nội đến Thái Bình  nên ta có phương trình
 (thoả mãn điều kiện bài toán).
Vậy vận tốc của xe máy thứ nhất là 33 km/h. Vận tốc của xe máy thứ hai là 30 km/h.
Quảng đường  từ Hà Nội đến Thái Bình là 110 km.
Ví dụ 2:  Đoạn đường AB dài 180 km . Cùng một lúc xe máy đi từ A và ô tô đi từ B xe máy gặp ô tô tại C cách A 80 km. Nếu xe máy khởi hành sau 54 phút thì chúng gặp nhau tại D cách A là 60 km. Tính vận tốc của ô tô và xe máy ?
Giải
Gọi vận tốc của ô tô là x (km/h), đk: x > 0.
Gọi vận tốc của xe máylà y(km/h), đk: y > 0.
Thời gian xe máy đi để gặp ô tô là (giờ)
Quảng đường ô tô đi là 100 km nên thời gian ô tô đi là (giờ)
ta có phương trình (1)
Quảng đường xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là (giờ)
Quảng đường ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là (giờ)
Vì ô tô đi trước xe máy 54 phút = nên ta có phương trình
.
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình





Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h. Vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Ví dụ 3:  Một ô tô đi trên quảng đường dai 520 km. Khi đi được 240 km thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 km/h nữa và đi hết quảng đường còn lại. Tính vận tốc ban đầu của ô tô biết thời gian đi hết quảng đường là 8 giờ.
Giải:
          Gọi vận tốc ban đầu của ô tô là x (km/h), đk: x>0.
Vận tốc lúc sau của ô tô là x+10 (km/h).
Thời gian ô tô đi hết quảng đường đầu là (giờ)
Thời gian ô tô đi hết  quảng đường đầu là (giờ)
Vì thời gian ô tô đi hết quảng đường là 8 giờ nên ta có phương trình


Phương trình có hai nghiệm
Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là 60 km/h.

          Ví dụ 4:  Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
Giải
+/ Gọi x (m/s)là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga  (x>0)
     Gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0)
+/ Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây.
Ta có phương trình : y=7x (1)
+/ Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất  25giây .
Ta có phương trình : y+378=25x (2)
+/ Kết hợp (1) với (2) ta được hệ phương trình :
+/ Giải ra ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s
            Chiều dài của đoàn tàu là : 147m
Ví dụ 5: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút. Biết thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km. Tính vận tốc dòng nước ?
Giải
+/ Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.
     Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0)
+/ Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương trình :
+/ Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (=h) nên ta có phương trình :
Ta có hệ phương trình :
+/ Giải ra ta có : x=18 ; y= 2
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h
Ví dụ 6:  Trên một đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy 1 điểm cố định A. Hai điểm chuyển động M , N chạy trên đường tròn, cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi. Nếu chúng di chuyển trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây. Tìm vận tốc mỗi điểm M, N ?
Giải
+/ Gọi x(m/s) là vận tốc của điểm M
     Gọi y(m/s) là vận tốc của điểm N (x>y>0)
+/ Khi chúng di chuyển trái chiều nhau , chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta có phương trình : 15x+15y=1,2 (1)
+/ Khi M,N di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây nên ta có phương trình : 60x-60y=1 (2)
 Ta có hệ phương trình :
+/ Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc điểm M là : 0,05m/s và vận tốc điểm N là : 0,03m/s
Ví dụ 7:  Một chiếc môtô và ôtô cùng đi từ M đến K với vận tốc khác nhau .Vận tốc môtô là 62 km/h còn vận tốc ôtô là 55 km/h . Để 2 xe đến đích cùng 1 lúc người ta đã cho ôtô chạy trước 1 thời gian. Nhưng vì 1 lí do đặc biệt nên khi chạy được 2/3 quãng đường ôtô buộc phải chạy với vận tốc 27,5 km/h. Vì vậy khi còn cách K 124km  thì môtô đuổi kịp ôtô. Tính khoảng cách từ M đến N .
Giải
+/ Gọi khoảng cách MK là x km
    Gọi thời gian dự định ôtô đi trước môtô là y (giờ)
+/ Ta có :
+/ Giải hệ này ta rút ra : x= 514km ;


Bài tập:
1. Một ô tô khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h. Qua 1 giờ 15 phút ô tô thứ hai cũng khởi hành từ A đi cùng hướng với ô tô thứ nhất với vận tốc 40 km/h. Hỏi sau mấy giờ thì ô tô gặp nhau, điểm gặp nhau cách A bao nhiêu km?
2. Một ca nô xuôi dòng 50 km rồi ngược dòng 30 km. Biết thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian ngược dòng là 30 phút và vận tốc đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc đi ngược dòng là 5 km/h.
Tính vận tốc lúc đi xuôi dòng?
          3. Hai ô tô cùng khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 150 km. Biết vận tốc ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc ô tô thứ hai là 10 km/h và ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 30 phút. Tính vânl tốc của  mỗi ô tô.
          4.  Một chiếc thuyền đi trên dòng sông dài 50 km. Tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ 10 phút. Tính vận tốc thực của thuyền biết rằng một chiếc bè thả nổi phải mất 10 giờ mới xuôi hết dòng sông.
          5. Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 108 km. Cùng lúc đó một ô tô khởi hành từ B đến A với vận tốc hơn vận tốc xe đạp là 18 km/h. Sau khi hai xe gặp nhau xe đạp phải đi mất 4 giờ nữa mới tới B. Tính vận tốc của mỗi xe?
          6. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B cách nhau 100 km. Cùng  lúc đó một bè nứa trôi tự do từ A đến B. Ca nô đến B thì quay lại A ngay, thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng hết 15 giờ. Trên đường ca nô ngược về A thì gặp bè nứa tại một điểm cách A là 50 km. Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước?
          Đáp án:
1.
2. 20 km/h
3. Vận tốc của ô tô thứ nhất 60 km/h. Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h.
4. 25 km/h
5.
6. Vận tốc của ca nô là 15 km/h. Vận tốc của dòng nước là 5 km/h.

3. Dạng 3: Toán làm chung công việc

Những kiến thức cần nhớ:
- Nếu một đội làm xong công việc trong x giờ thì một ngày đội đó làm được  công việc.
- Xem toàn bộ công việc là 1
Ví dụ 1:
          Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu?
Giải:
Ta có 25%= .
Gọi thời gian một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x(x > 0; giờ)
Gọi thời gian một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y(y > 0; giờ)
Trong một giờ người thứ nhất làm được  công việc
Trong một giờ người thứ hai làm được  công việc.
Hai người cùng làm thì xong trong 16 giờ. Vậy trong 1 giờ cả hai người cùng làm được công việc.
Ta có phương trình:
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì 25%=  công việc. Ta có phương trình (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
.
 Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 giờ. Người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.
Ví dụ 2:
          Hai thợ cùng đào một con mương thì sau 2giờ 55 phút thì xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hoàn thành công việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi nếu  làm riêng thì mỗi đội  phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong công việc?
          Giải :
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong công việc là x (x > 0; giờ)
Gọi thời gian đội 2 làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ đội 1 làm được
Mỗi giờ đội 2 làm được
Vì cả hai đội thì sau 2 giờ 55 phút =(giờ) xong.
Trong 1 giờ cả hai đội làm được  công việc
Theo bài ra ta có phương trình    
         
Ta có
 
Vậy đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ. Đội hai hoàn thành công việc trong 7 giờ.
          Chú ý:
          + Nếu có hai đối tượng cùng làm một công việc nếu biết thời gian của đại lượng này hơn, kém đại lượng kia ta nên chọn một ẩn và đưa về phương trình bậc hai.
          + Nếu thời gian của hai đại  lượng này không phụ thuộc vào nhau ta nên chọn hai ẩn làm thời gian của hai đội rồi đưa về dạng hệ phương trình để giải.
Ví dụ 3:
          Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ người thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc?
Giải:
Gọi thời gian để một mình người thứ nhất hoàn thành công việc là x (x>2; ngày)
Gọi thời gian để một mình người thứ hai hoàn thành công việc là y (x>2; ngày).
Trong một ngày người thứ nhất làm được  công việc
Trong một ngày người thứ hai làm được  công việc
Cả hai người làm xong trong 2 ngày nên trong 1 ngày cả hai người làm được  công việc. Từ đó ta có pt  +  =  (1)
Người thứ nhất làm trong 4 ngày rồi người thứ hai làm trong 1 ngày thì xong công việc ta có pt:
 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt 
Vậy người thứ nhất làm  một mình xong công việc  trong 6 ngày. Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 3 ngày.
Ví dụ 4: Hai người cùng làm chung một công việc trong  giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu thời gian để xong công việc?
Giải
Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành một mình xong công việc là x (giờ), ĐK
Thì thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là x + 2 (giờ)
Mỗi giờ người thứ nhất làm được(cv), người thứ  hai làm được(cv)
Vì cả hai người cùng làm xong công việc trong giờ nên mỗi giờ cả hai đội làm được=(cv)
Do đó ta có phương trình
                    

Û 5x² – 14x – 24 = 0
D’ = 49 + 120 = 169,
=>  (loại) và (TMĐK)
Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ,
        người thứ hai làm xong công việc trong 4+2 = 6 giờ.
Ví dụ 5: Cho 3 vòi A, B, C cùng chảy vào 1 bể. Vòi A và B chảy đầy bể trong 71 phút Vòi A và C chảy đầy bể trong 63 phút. Vòi C và B chảy đầy bể trong 56 phút .
a. Mỗi vòi làm đầy bể trong bao lâu? Cả 3 vòi cùng mở 1 lúc thì đầy bể trong bao lâu ? 
b. Biết vòi C chảy 10lít ít hơn mỗi phút so với vòi A và B cùng chảy 1 lúc. Tính sức chứa của bể và sức chảy của mỗi vòi ?
Giải
a) Vòi A làm đầy bể trong x phút ( mỗi phút làm đầy 1/x bể )
     Vòi B làm đầy bể trong y phút ( mỗi phút làm đầy 1/y bể )
     Vòi C làm đầy bể trong z phút ( mỗi phút làm đầy 1/z bể )
      Ta có hệ phương trình :
+/ Giải hệ phương trình ta được : x=168  ;  y=126  ;   z=504/5
     Nếu 3 vòi cùng mở 1 lúc thì sau mỗi phút đầy bể.
     3 vòi cùng làm đầy bể sau : phút
b)Gọi dung tích của bể là t phút thì mỗi phút vòi C chảy 5/504.t lít , vòi A và B chảy lít .Theo đề bài ta có  phương trình :
Sức chảy vòi A :
Tương tự sức chảy vòi B :
                         sức chảy vòi C :
Ví dụ 6:
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không  có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được  bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?
 GIẢI:

• Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).
• Trong 1h, vòi 1 chảy được:   (bể).
• Trong 1h, vòi 2 chảy được:   (bể).
• Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = h  sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được 

 bể, do đó ta có pt:  +  =   (1).

• Vì vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được  bể nước nên ta có pt:  +  =  (2).

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt:  (I)
• Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành:   (II).
• Giải hệ (II), ta được:          (thỏa ĐK).

• Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.

Ví dụ 7:
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể cạn (không  có nước) thì sau  giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau  giờ  nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
GIẢI:

• Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 9, y > ).
• Trong 1h, vòi 1 chảy được:   (bể).
• Trong 1h, vòi 2 chảy được:   (bể).
• Vì hai vòi nước cùng chảy trong  giờ = h  sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được  bể,

do đó ta có pt:  +  =   (1).

• Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau  giờ  nữa mới bể nước nên ta có pt:  +  = 1 (2).

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt:  (I)
• Đặt u = , v = , hệ (I) trở thành:   (II).
• Giải hệ (II), ta được:          (thỏa ĐK).

• Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.

Ví dụ 8:
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?
GIẢI:

• Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).
• Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).
• Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được   (bể).
• Mỗi giờ vòi thứ hai chảy được   (bể).
• Vì hai vòi cùng chảy thì sau 18 h bể đầy, nên trong 1h hai vòi cùng chảy được  bể, do đó nên ta có pt:

  x² – 63x + 486 = 0.

• Giải pt trên ta được: x₁ = 54 (nhận); x₂ = 9 (loại).

• Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.

Bài tâp:
          1. Hai người thợ cùng làm một công việc thì xong trong 18 giờ. Nếu người thứ nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 7 giờ thì được 1/3 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong công việc?
          2. Để hoàn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác. Tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng  thhì bao lâu xong công việc đó?
          3. Hai đội công nhân cùng đào một con mương. Nếu họ cùng làm thì trong 2 ngày sẽ xong công việc. Nếu làm riêng thì đội haihoàn thành công việc nhanh hơn đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc?
          4. Hai chiếc bình rỗng giống nhau có cùng dung tích là 375 lít. ậ mỗi binmhf có một vòi nước  chảy vào và dung lượng nước chảy trong một giờ là như nhau. Người ta mở cho hai vòi cùng chảy vào bình nhưng sau 2 giờ thì khoá vòi thứ hai lại và sau 45 phút mới tiếp tục mở lại. Để hai bình cùng đầy một lúc người ta phải tăng dung lượng vòi  thứ hai thêm 25 lít/giờ.
Tính xem mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được bao nhiêu lít nước.
Kết quả:
          1) Người thứ nhất làm một mình trong 54 giờ. Người thứ hai làm một mình trong 27 giờ.
          2) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai  làm một mình trong 15 giờ.
          3) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm một mình trong 3 ngày.
4) Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 75 lít.
 

4. Dạng 4: Toán có  nội dung hình học:

          Kiến thức cần nhớ:
          - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài)
          - Diện tích tam giác  ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)
          - Độ dài cạnh huyền : c² = a² + b² (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông)
          - Số đường chéo của một đa giác  (n là số đỉnh)
Ví dụ 1:  Tính các kích thước của hình chữ nhật có diện tích 40 cm² , biết rằng nếu tăng mỗi kích thước  thêm 3 cm thì diện tích tăng thêm 48 cm².
Giải:
 Gọi các kích thước của hình chữ nhật lần lượt là x và y (cm; x, y > 0).
Diện tích hình chữ nhật lúc đầu là x.y (cm²) . Theo bài ra ta có pt   x.y = 40 (1)
Khi tăng mỗi chiều thêm 3 cm thì diện tích hình chữ nhật là. Theo bài ra ta có pt
(x + 3)(y + 3) – xy = 48 ó 3x + 3y + 9 = 48 óx + y = 13(2)
Từ (1) và (2) suy ra x và y là nghiệm của pt X² – 13 X + 40 = 0
Ta có
Phương trình có hai nghiệm
Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 5 (cm) và 8 (cm)
Ví dụ 2:  Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 5 m. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 1m. Tính các cạnh góc vuông của tam giác?
Giải:
          Gọi cạnh góc vuông thứ nhất  là x (m) (5 > x > 0)
           Cạnh góc vuông thứ hai là x + 1 (m)
Vì cạnh huyền bằng 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình
x²  + (x + 1)² = 5²

Vậy kích thước các cạnh góc vuông của tam giác vuông là 3 m và 4 m.
Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm². Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm². Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
HD GIẢI:

• Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (x > 5, y > 5).
• Theo đề bài ta có hệ pt:

•  Giải hệ pt ta được   (thỏa ĐK).

• Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.

          Ví dụ 3: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm². Tìm độ dài các cạnh góc vuông.
HD GIẢI:

• Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).
• Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x² + y² = 25   (1).
• Vì tam giác có diện tích 6cm² nên ta có pt: xy = 6 xy = 12  (2).

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt:   

  ( vì x, y > 0)

• Giải hệ pt ta được   hoặc  (thỏa ĐK).

• Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.

Bài tâp :
Bài 1:  Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính  diện tích hình chữ nhật đó?
Bài 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng chiều dài giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi
Bài 3: Một đa giác lồi có tất cả 35 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đỉnh?
Bài 4: Một cái sân hình tam giác có diện tích 180 m² . Tính cạnh đáy của sân biết rằng nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không đổi?
Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao là 35 m hai đáy lần lượt bằng 30 m và 50 m người ta làm hai đoạn đường  có cùng chiều rộng. Các tim đừng lần lượt là đường trung bình của hình thang và đoạn thẳng nối hai trung điểm của hai đáy. Tính chiều rộng đoạn đường đó biết rằng diện tích phần làm đường bằng  diện tích hình thang.
Đáp số:
          Bài 1: Diện tích hình chữ nhật là  60 m²
          Bài 2: Diện tích hình chữ nhật là  3750 m²
          Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh
          Bài 4: Cạnh đày của tam giác là 36 m.
          Bài 5: Chiều rộng của đoạn đường là 5 m.

5. Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng

          Những kiến thức cần nhớ :
          + x% =
+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay của tỉnh A là
                              
Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58
          Gọi lãi suất cho vay là x (%),đk: x > 0
Tiền lãi suất sau 1 năm là  (đồng)
 Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi là 200000 + 20000 x (đồng)
Riêng tiền lãi năm thứ hai là
Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả là 2000000 +20000x + 20000x + 200x²  (đồng)
                                                          200x² + 40000x +2000000 (đồng)
Theo bài ra ta có phương trình 200x² + 40 000x + 2000000 = 2420000
                                      ó x² + 200x – 2100 = 0 .
          Giải phương trình ta được x₁ = 10 (thoả mãn);  x₂ = -210 (không thoả mãn)
Vậy lãi suất cho vay là 10 % trong một năm.
Ví dụ 2:  Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I đã sản xuất vượt mức kế hoạch là 18% và tổ II vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ là bao nhiêu.
          Giải
  Gọi  x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản  phẩm), đk  0 < x < 600.
Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 – x  (sản phẩm).
Số sản phẩm vượt mức của tổ I là  (sản phẩm).
Số sản phẩm vượt mức của tổ II là  (sản phẩm).
Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch của hai tổ là 120 sản phẩm ta có pt
           ó x = 20 (thoả mãn yêu cầu của bài toán)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 (sản phẩm)
Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 (sản phẩm)
Bài tập:
          Bài 1:  Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm  tăng từ 200000 lên 2048288 người. Tính xem hàng năm trung bình dân số  tăng bao nhiêu phần trăm.
          Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm?
          Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm trong một thời gian dự định. Do áp dụng kỹ thuật mới nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% và tổ hai vượt mức 17%.  Vì vậy trong thời gian quy định cả hai tổ đã sản xuất được tất cả được 1162 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm của mỗi tổ là bao nhiêu?
Kết quả:
          Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%
          Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm
          Bài 3: Tổ I được giao 400 sản phẩm. Tổ II được giao 600 sản phẩm
Dạng 6: Các dạng toán khác
  Những kiến thức cần nhớ :
          -
          - Khối lượng nồng độ dung dịch =
Ví dụ : (Bài 5 trang 59 SGK)
 Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là x (g) . đk x > 0.
Nồng độ muối của dung dịch khi đó là
Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung  dịch là:
Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình
         
Giải pt ta được x₁ = -440 ( loại);       x₂ = 160 (thoả mãn đk của bài toán)
          Vậy trước khi đổ thêm nước trong dung dịch có 160 g nước.
          Ví dụ 2:  Người ta trộn 8g chất lỏng này với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó là 0,2g/cm³ để được hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm³ . Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.


Giải
          Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (g/cm³). Đk x > 0,2
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x – 0,2 (g/cm³).
Thể tích của chất lỏng thứ nhất là
Thể tích của chất lỏng thứ hai là
Thể tích của hỗn hợp là

Theo bài ra ta có pt . Giải pt ta được kết quả
x₁ = 0,1 (loại) ;               x₂ = 0,8 (t/m đk)
Vậy khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 0,8 (g/cm³)
Khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 0,6 (g/cm³).

          Ví dụ 3:  Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dịch khác chứa 55% axit nitơric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100lít dung dịch 50% axit nitơric?
Giải
+/ Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dịch  loại 1 và 2 (Đơn vị: Lít, x,y>0)
     Lượng axit nitơric chứa trong dung dịch  loại 1 là và loại 2 là
+/ Ta có hệ phương trình :
+/ Giải hệ này ta được : x=20 ;y=80
Ví dụ 4:  Nhân ngày 1/6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho các đội viên. Để đảm bảo nguyên tắc chia ấy, phân đội trưởng đề xuất cách nhận quà như sau:
    Bạn thứ nhất nhận 1 cái kẹo và 1/11 số kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận nhận n cái kẹo và 1/11 số kẹo còn lại.
     Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên ? Mỗi đội viên nhận được bao nhiêu cái kẹo ?
Giải
+/ Gọi số người trong phân đội là a
     Số kẹo trong phân đội được tặng là x  (a,x>0)
+/ Người thứ nhất nhận được : (kẹo )
     Người thứ hai nhận được : (kẹo )
+/ Vì hai số kẹo bằng nhau và có a người nên ta có :
+/ Giải hệ này ta được x=100 ; a=10
          Ví dụ 5:  12 người ăn 12 cái bánh. Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc, mỗi người đàn bà ăn 1/2 chiếc và mỗi em bé ăn 1/4 chiếc. Hỏi có bao nhiêu người đàn ông, đàn bà và trẻ em
Giải
+/ Gọi số đàn ông , đàn bà và trẻ em lần lượt là x,y,z.(Đơn vị: Người, x,y,z là số nguyên dương và nhỏ hơn 12)
+/ Số bánh họ lần lượt ăn hết là : 2x ; y/2 ; z/4 (Bánh)
+/ Theo đề bài ta có hệ phương trình :
+/ Lấy (2) trừ (1) ta được : 6x-z=24 (3)
Vì x, z , 6x và 24 chia hết cho 6 , z cũng chia hết cho 6 .Kết hợp với điều kiện  0<z<12 z=6.
          Thay z=6 vào (3) ta được x=5 , từ đó y=1
Vậy có 5 đàn ông , 1 đàn bà và 6 trẻ em
340m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m. Tính diện tích của sân trường.
HD:

• Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)
• Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340  x + y = 170   (1).
• Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20    (2).

• Từ (1) và (2) ta có hệ pt:
• Giải hệ pt ta được   (thỏa ĐK).

Bài Tập
Bài 1:  Một phòng họp có 240 ghế được xếp thành các dãy có số ghế bằng nhau. Nếu mỗi dãy bớt đi một ghế thì phải xếp thêm 20 dãy mới hết số ghế. Hỏi phòng họp lúc đầu được xếp thành bao nhiêu dãy ghế.
Bài 2:  Hai giá sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30 cuốn thì số sách ở giá thứ nhất bằng  số sách ở ngăn thứ hai. Tính số sách ban đầu của mỗi ngăn?
Bài 3:  Người ta trồng 35 cây dừa trên một thửa đất hình chữ nhật  có chiều dài 30 m chiều rộng là 20 m thành những hàng song song cách đều nhau theo cả hai chiều. Hàng cây ngoài cùng trồng ngay trên biên của thửa đất. Hãy tính khoảng cách giữa hai hàng liên tiếp?
Bài 4:  Hai người nông dân mang 100 quả trứng ra chợ bán. Số trứng của hai người không bằng nhau nhưng số tiền thu được của hai người lại bằng nhau. Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 15 đồng ”. Người kia nói “ Nếu số trứng của tôi bằng số trứmg của anh  tôi chỉ bán được  đồng thôi”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu quả trứng?
Bài 5:  Một hợp kim gồm đồng và  kẽm  trong đó có 5 gam kẽm. Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim này thì được một hợp kim mới mà trong đó lượng đồng đã giảm so với lúc đầu là 30%. Tìm khối lượng ban đầu của hợp kim?
          Kết quả:
          Bài 1:  Có 60 dãy ghế
          Bài 2: Giá thứ nhất có 180 quyển. Giá thứ hai có 220 quyển.
          Bài 3: Khoảng cách giữa hai hàng là 5m
          Bài 4: Người thứ nhất có 40 quả. Người thứ hai  có 60 quả.
          Bài 5: 25 gam hoặc 10 gam.

Lưu ý:
Từ dạng 4-6,là dạng giải phương trình bậc hai (chưa học) nên cần thử đặt ẩn về dạng hệ phương trình thử xem nhé.